20240927_ISM

October 11, 2024

20240920_ISM

从最简单的 phase (cold neutral medium) 开始

CNM 的影响体现在恒星光谱的吸收线上

对于冷气体来说最重要的冷却方式是 C/O 的禁线跃迁

Atomic Physics #

原子中电子的薛定谔方程的解：

$$ \psi_{(n,l,m_l)}=R_{n,l}(r)\times Y_{l,m_l}(\theta,\phi) $$

除以上三个量子数之外还存在自旋量子数 $m_s$ 描述电子自旋磁矩。

主量子数 n: shell 从内到外分别约定为 K, L, M, N shell
角量子数 l: 决定电子位于 s, p, d, f subshell 中的哪一个
磁量子数 $m_z(m_l)$: 取值从 $-(l+1)$ 到 $l+1$
自旋量子数 $m_s$: 取 -1/2 或者 1/2，对于固定的 $n, l, m_z$ 可以存在两个电子

不考虑 LS 耦合的情况下，电子能量基本由 $n,l$ 决定。

仅考虑原子最外的电子层（outermost sub-shell），用下述符号表示，其中大写字母表示 outermost sub-shell 中全部电子的量子数之和。

$$ ^{2S+1}\mathcal{L}^p_J $$

$\mathcal{L}$ 表示总轨道量子数（$l$）
$S$ 表示总自旋量子数
LS 耦合的信息由 $J$ 给出，$J$ 的取值范围为 $|L-S|\sim L+S$
- 不同 J 之间的跃迁称为 fine structure
p for parity, 如果为 odd 则在符号右上角加一个小写 o
- 单个电子的 parity 仅决定于角量子数 l

具有不同的 L 的量子态的能量差一般是 eV 量级，LS 耦合下 J 不同的量子态（精细结构）之间的能量差一般是 0.01 eV 量级，二者之间的能量倍数大致为精细结构常数 $1 /137$。

符合选择定则的跃迁产生的光谱线称为 permitted line，其中涉及基态的多条谱线称为 resonance lines. break 三条以上的跃迁产生的光谱线称为 forbidden lines，介于二者之间则称为 semi forbidden line（用右半括号表示）

原子核和电子的自旋方向相同和相反（超精细结构，用量子数 F 表示）造成的能量差在 1e-6 量级，H 21cm 线就是由超精细结构造成的。

Cold Neutral Medium #

温度很低，不需要考虑电离

考虑 u 和 l 双态系统：低能电子吸收光子跃迁到高能态，高能电子跃迁到低能态释放光子；除此之外还有受激辐射，高能级电子受到光子激发之后跃迁到低能级并且放出另一个同能量的光子

低能级到高能级的转化速率与特定频率光子的密度有关

$$ \left( \frac{\mathrm{d}n_u}{\mathrm{d}t} \right)_{l\to u}=n_lB_{lu}u_\nu $$

高能级到低能级的转化速率为

$$ \left( \frac{\mathrm{d}n_l}{\mathrm{d}t} \right)_{u\to l}=n_u(A_{ul}+B_{ul}u_\nu) $$

其中 A, B 为 Einstein coefficient.

对于热平衡系统，两个转化率相等。除此之外还有限制条件：

两种状态的数密度之间满足 Boltzmann 分布
辐射场的谱分布满足黑体谱

推导得到三个 Einstein coefficients 之间只有一个自由度。

$$ \begin{aligned}B_{u\ell}=\frac{c^3}{8\pi h\nu^3}A_{u\ell}\end{aligned} $$

$$ \begin{aligned}B_{\ell u}=\frac{g_u}{g_\ell}B_{u\ell}=\frac{g_u}{g_\ell}\frac{c^3}{8\pi h\nu^3}A_{u\ell}\end{aligned} $$

这里 $B_{ul}u_\nu$ 和 $A_{ul}$ 的大小之比可以衡量 spontaneous 和 stimulated emission 的重要性差别。

Intrinsic line Profile #

有一些机制可以使得 emission line 具有宽度（broadening mechanism）

量子力学的本征展宽 #

跃迁的能量和跃迁时标具有不确定性，二者的不确定度相乘存在下限。这里的跃迁时标量级约为 coefficient 的倒数。

用阻尼谐振子的模型描述 emission line 的谱分布。

$$ \Phi_{\nu}=\frac{4\gamma_{u\ell}}{16\pi^2(\nu-\nu_{u\ell})^2+\gamma_{u\ell}^2} $$

谱线宽度（FWHM）可以估计为 $(\Delta\nu){\text{FWHM}}^{\text{intr.}}=\gamma{u\ell}/{2\pi}$. 这里的参数 $\gamma_{ul}$ 指从 l 和 u 状态向更低能级跃迁的速度，可以作为谱线宽度的表示。

典型的 intrinsic broadening width 只有 0.01 km/s 量级。

Doppler 展宽 #

包括热展宽和其他运动（micro turbulance）造成的展宽

运动学平衡的状态下，视线方向速度的分布满足 Gaussian distribution.

热展宽的典型值约为 1.28 km/s（$b=\sqrt{\frac{2kT}{m}}$）

由于 Lorentz profile 在外围下降更慢（相比高斯），虽然宽度相比 Gauss 分布比较窄，在外侧仍然可能由 Lorentz profile 主导。

卷积 #

以上两种展宽卷积之后得到的分布为 Voigt profile

$\gamma_{u\ell}$ 和 $b$ 的大小差异可以用于两种展宽重要性的比较。

谱线的宽度与「电子和具有频率 $\nu$ 光子」之间的反应横截面 $\sigma_{lu}(\nu)$ 有关

从辐射转移出发构造吸收线 #

对于 CNM 来说，假设不存在任何的新 emission 产生。辐射在传播过程中被吸收遵循规律为（假设行进距离用光深 $\tau_\nu$ 表示）

$$ I_\nu=I_{\nu,0} \mathrm e^{-\tau_\nu} $$

对于光薄介质，可以近似为

$$ I_\nu=I_{\nu,0}(1-\tau_\nu) $$

光深和仅和介质柱密度有关

$$ \tau_{\nu}=\int\kappa_{\nu}ds=\int n_{\ell}\sigma_{\ell u}(\nu)ds=\frac{g_{u}}{g_{\ell}}\frac{c^{2}}{8\pi \nu_{u\ell}^{2}}A_{u\ell}\int n_{\ell}\Phi_{\nu}ds. $$

其中 $\Phi_\nu$ 满足之前的 Voigt 分布，辐射分布大约成一个反向的 Voigt 分布的形状。

将 absorption 区域等价（面积相同）为完全吸收的矩形可以计算 equivalent width

假设光薄介质、并且将 Voigt 分布近似为 Gauss 分布，对应的等价 width 为

$$ W_\lambda=\frac{\sqrt{\pi}b}{c}\lambda_0\tau_0 $$

对于光深之间的介质，将分布近似为阶梯函数，得到

$$ W_\lambda = \frac{2b}{c}\lambda \sqrt{\ln \tau_0} $$

随着 $\tau_0$ 的变化不太明显。

对于 Lorentz 分布占主导的情况，需要重点考虑吸收线 wing 上的部分。

$$ W_\lambda=\frac{2b}{c}\lambda_{0}\left(\frac{a\tau_{0}}{\sqrt{\pi}}\right)^{1/2} $$

一般需要寻找两端的 width-柱密度关系，因为在这些地方从 width 推算柱密度的误差比较小。