Brief
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- 用 SDSS 中中心星系和卫星星系的两个数据矢量（相空间分布、卫星星系数量）进行 CLF 参数的推断，然后再用 LF 为参考进行宇宙学的推断，最终结果落在 Planck 和晚期宇宙之间
- 相空间分布用的不是纯粹的 CLF 框架，而是用 Jeans 方法将运动学和 halo 属性联系在一起
- 这里对重子效应（mass ejection）的处理是给速度弥散乘一个 $\sqrt{1-f_\mathrm{bar}f_\mathrm{eject}}$ 的因子，其中 ejection fraction 来自 EAGLE
- discussion 发现卫星星系的分布简单假设 NFW 分布或者假设跟随 sub halo 的分布会造成很大的影响，这里 generalized NFW 的使用可能是没有出现 tension 的关键因素
Intro
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- 晚期宇宙测量 S8 的手段包括星系团计数、clustering、WL、3x2pt 等，但是都可能存在系统误差
- WL 受到 multiplicative error、photo-z 误差等的影响
- clustering 的主要问题是 halo assembly bias，也就是 clustering 强度依赖于 halo mass 之外的其他信息
- 重子效应会影响所有方法的测量结果，因为很难模拟出真实的重子反馈（将中心的气体吹向外围）导致的物质功率谱的改变
- S8 tension 的另一个表现是 lensing 信号低于 clustering 测量预测给出的 lensing 信号（lensing is low）
- 这里的方法通过 satellite 的运动学研究单个 halo 内的引力势，对应于一般情况下被忽略的小尺度信息
- 具体做法和 cluster abundance 比较类似：用 Bayes 方法对卫星星系的丰度和运动学信息进行前向建模，然后用真实的 LF 约束 HMF 以及进一步约束宇宙学
Method
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- 关于中心星系、卫星星系的选择，更详细的描述在同 series 的之前的 paper 中介绍
- 这里用 primary 和 secondary 称呼中心和卫星星系，primary 定义为周围一定范围内的最亮的星系
- 「周围范围」的定义是随星系亮度变化的，但是前向建模方法可以很好地考虑到这里参数变化产生的效应
- 数据来源于之前的同 series 的工作，包括 165k 星系，其中有 18k 中心星系具有一个或以上的卫星星系，中心-卫星星系 pair 的数量是 30k
- data vector 包括（分别对应 fig1 的左/右 panel，但是实际数据处理并不采取分 bin 的处理）
- satellite kinematics: 卫星星系的投影坐标 $R_p$ 以及相对中心星系的速度差 $\Delta V$ 的分布
- 相当于三维分布？但是丢失了角向分布的信息，最后仍然是二维
- 仅包含 18k 个包含卫星星系的系统
- SDSS 光纤的最小间距是 55 arcsec，这里移除了角距离小于此值的卫星星系
- 似然函数的建立基于无碰撞 Boltzmann 方程的求解，可以打破 mass-anisotropy degeneracy
- number of secondaries: 卫星星系的数量
- 用 CLF 模型描述 halo-galaxy connection
- 中心星系的光度服从一个对数正态分布，均值和标准差都是 halo mass 的函数
- 卫星星系的光度分布服从 modified Schechter 分布，自由度包括暗端斜率 $\alpha$、特征光度 $L_\star$ 和归一化系数（其实就是 satellite 数量？）
- 卫星星系的径向分布服从一个 generalized NFW 分布，自由度包括斜率 $\gamma$ 和 satellite 的特征半径相比于 DM halo 的特征半径的比值，但是出于计算效率考虑这里的参数没有参与到 MCMC 的拟合中
- 重子效应一般被建模为：重子聚集导致的引力势加深、DM 绝热收缩、feedback 导致的物质 ejection
- 这里由于已经去除了中心区域（55 arcsec）的数据，所以主要受到最后一种效应的影响，卫星星系理论上会具有更低的速度弥散
- fig2 对比了 DMO 和加入重子之后引力势的变化
- 下面三张图里面排除内部和外部区域的原因分别是光纤碰撞和避免 projection effect
- EAGLE 给出的 ejection 比例随着质量减小
- 右下给出了重子效应修正的最终结果
- 具体的函数形式是 $\sigma_\mathrm{hydro} /\sigma_\mathrm{DMO}=\sqrt{1-f_\mathrm{bar}f_\mathrm{eject}}$，其中 $f_\mathrm{eject}$ 随质量的依赖关系由 EAGLE 给出
- 具体的细节可以参照 B25
- 由以上过程可以推导得出一个 CLF 参数（的概率分布），之后通过对比理论的 LF 和建立在宇宙学基础上的 HMF 推导出的理论 LF 可以对宇宙学参数（尤其是 S8）进行限制
- CLF 参数和宇宙学参数的确定不是同步完成的（two-step），而是将前者的概率分布作为后者的 Bayes 先验，这样计算成本比较低
Mock test
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- 使用 SMDPL 纯暗物质模拟，用一个特定的 CLF 填充星系，将 subhalo 的速度赋予卫星星系
- 在模拟目录中加入了 RSD、flux limit、fiber collision 等实际巡天的不完备性
- 没有对 Baryon effect 进行校正，因为 simulation 本身就是 DMO 的
- fig3 对比了不同宇宙学下恢复 CLF 参数的效果
- fig4 显示了宇宙学推断的结果，恢复效果很好
Results
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- 对 SDSS DR7 的 bright0 目录进行分析
- 最终密度分布参数是 $\gamma=1$ 和 $R=2-2.5$
- fig5 是一个插曲：anisotropy parameter 实际上对宇宙学存在依赖
- fig6 给出了最终宇宙学约束的结果，S8 mean value 坐落在早期/晚期宇宙测量值之间
- fig7 给出了不同宇宙学参数下 LF 和真实的 SDSS LF 的对比
Discussion
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- fig8 给出了结果对不同 sub grid physics 的敏感程度，最终推断结果均落在 Planck 2sigma 范围内
- fig9 用 Planck 宇宙学检验了 Illustris-2（一个 feedback 非常强烈的 simulation）的 total/halo mass 比值的变化
- fig10 将 Illustris-2 的重子物理模型用于 SDSS 数据的推断上，得到了一个非常高的 S8
- 这里采用 generalized NFW 分布，和以往研究有所不同：
- 如果采用标准 NFW 会导致更高的 S8，而如果假设卫星星系的分布和 subhalo 完全相同会导致更低的 S8
- 这是之前 S8 tension 的一个可能来源
Summary
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- 方法类似于用 cluster 动力学质量以及 abundance 约束宇宙学，但是应用在了更低的质量尺度上
- 这种方法在 ss8-Om plane 上具有一个独特的简并方向，相比其他方法的优点主要是
- 仅关注单个 halo 内部的性质，对 assembly bias 不敏感
- CLF 本身是比 HOD 更复杂的模型
- 对重子效应进行了细致的建模
- 未来可以应用在 DESI BGS 上面
- 方法对于重子效应确实是敏感的，所以也可以用这种方法根据宇宙学约束 simulation 中的重子效应
Thoughts
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- halo 和重子物质组成的引力束缚结构中，重子在小尺度上占据主导，DM 在稍外围的地方开始主导
- 这里的 $\Delta V$ 来自于 SDSS spec-z 的数据，但是光谱的选择不是完全均匀的？一个中心星系周围的卫星星系可能没有被全部统计吧？
- 星系动力学的细节（涉及 kinematics likelihood 的细节）包含在 paper2 中
- 相比 cluster abundance 的区别主要是处理视向速度的方式，这里放在了 Jeans method 的框架里
- 本质上是一个 CLF 前向建模的方法，通过对比固定参数 CLF 下的结果和观测到的数据矢量来优化 CLF 参数的选择
- 但是 CLF 参数和宇宙学参数应该是共同拟合和确定的吧？
- 唯一还没有明白的地方是 CLF 如何给出运动学的信息和 $\Delta V$ 进行对比
- 总之这样的前向建模都要从 HMF 开始，用 CLF/HOD 和实际观测建立联系，最后限制给出 HMF 的宇宙学参数
- Cappellari2026EarlyTypeGalaxiesElliptical 中提到「观测上仅能观测到六维相空间中的三维（二维位置以及视线方向速度），但是可以用 Jeans 或者轨道叠加的方法重建」
- 这里显然是用 Jeans 方法得到了理论的 $(R_p,\Delta V)$ 分布并且和观测进行对比
- 重子效应确实没有必要检验，因为这里的重子效应就是用 EAGLE 的结论来表征的
- 这里的 Bayes 推断其实说不上是层级的，而是分步的，用上一步得到的概率分布参与到下一步其他参数的推断中