• gemini https://aistudio.google.com/prompts/1vlm17MVILJx0eZu-muBF8QyxMpMCWhyA
• WL 在宇宙学上的应用是 3x2pt，包括 cosmic shear、gg lensing 以及 galaxy clustering
  • 系统误差主要来自 intrinsic alignments 以及 baryonic feedback

Brief #

• lens potential 是 Newtonian potential 的视线方向加权投影，求梯度可以得到 deflection angle
• Jacobian 矩阵描述了 source/image 位置之间的微分关系，可以拆分为 convergence 和复数 shear
  • 二者都是 lens potential 的二阶导，所以可以从 shear 测量中复原 convergence map
    • 其中 convergence 直接对应于无量纲化的 surface mass density
  • 星系的椭率可以近似为本身椭率叠加 (reduced) shear，本身椭率误差和 shear 的典型值分别是 0.30 和 0.01
  • shear 可以分解为 tangential/cross 两部分，其中 tangential shear 的平均值可以直接对应 excess surface density mass（中心对称近似下）
• WL cosmology 的主要方法是 3x2pt 包括 cosmic shear、galaxy clustering、gg lensing
  • 分别对应 foreground galaxy field 以及 background galaxy shear catalog 的自相关以及二者之间互相关函数
  • 最重要的误差包括 baryonic process、intrinsic alignment、galaxy bias、photo-z error 等
    • 为了防止 baryonic process 的影响一般不使用小尺度的 WL 信号

Intro #

• WL 的独特优势在于和非重子物质有直接的对应
• SL 的现象（多个像、giant arc 以及 Einstein ring）可以直观地看到，而 WL 更强调统计性质

WL Theory #

• eq1 代表具有一阶扰动的 FLRW 度规
  • 这里 $\Psi,\ \Phi$ 均为弱引力势（满足 $\Psi,\ \Phi\ll c^2$），并且在 dynamical shear 可以忽略的情况下可以认为二者相等
  • $\mathrm{d}l^2$ 代表空间距离，随 curvature 不同具有不同形式
  • 沿测地线行进的光子满足 eq2
    • 可以将引力势类比为具有可变折射率 $n=1-2\Phi /c^2$ 的介质
• eq3: deflection angle 取决于引力势在垂直光路方向的梯度
• eq3 是积分形式，并且积分路径通常是未知的（光线实际传播的路径）；实际计算用到的是 Born 近似 $\delta \theta=4GM /bc^2$
  • 其中 b 是碰撞参数，M 代表点源的质量
  • 这个 deflection angle 是 Newtonian 的两倍，被 Eddington 对日食的观测证实
  • 近似在 deflection angle 足够小的条件下成立
• 将点源扩展为二维平面质量分布 $\Sigma(\vec{\xi})$，然后对二维平面进行积分
  • 对于 lens 尺寸远小于 O/S/L 之间距离的情况，可以作这种 thin lens approximation
• fig1 中 apparent/physical deflection angle 之间存在比例关系 $\alpha=D_\mathrm{ls} /D_\mathrm{s} \delta \theta$
  • 角度都是 vector 形式，距离均为角直径距离
  • 使用 apparent angle 可以得到 lens equation 的最简形式 $\beta=\theta-\alpha(\theta)$
    • 三个角度分别是源坐标、像坐标以及 apparent DA
    • 描述了像坐标到源坐标的映射
• 延伸的二维质量分布可以描述为 effective lens potential（标量场），定义如 eq10
  • lens potential 实际上是 Newtonian potential 向视线方向的加权投影，权重为依赖于距离的因子（还有一个包含 a factor of 2 的质能转换因子）
  • 偏折角 $\alpha$ 可以通过对 lens potential 求梯度得到（eq11）
  • lens potential 二阶导（Laplace operator）可以和 surface mass density 联系起来（eq12）
    • convergence $\kappa$ 代表各向同性的放大效应，定义为表面密度和临界密度的比值
    • 临界表面质量密度定义为 eq13，是一个纯几何的因子
      • lens 恰好处于 O/S 之间时透镜效率达到最大值（fig3）

Shear and magnification #

• 对 lens equation 进行 Taylor expansion 得到 $\delta\beta=A\delta \theta$，其中 A 称作 Jacobian 矩阵，描述了 source 上的每一个矢量如何映射为 image 上的矢量
  • 假设背景星系所有光经历的引力作用是相同的，则其形变可以由 Jacobian 矩阵描述
  • $A=\sigma_\mathrm{ij}-\partial_\mathrm{i}\partial_\mathrm{j}\psi$ 数学上和 lens potential 的二阶导数有关
• Jacobian 可以分解为各向同性的 convergence 和各向异性的 shear 两部分（eq17, 20）
  • fig4 给出了二者作用的直观表示
  • shear 是一个 complex number
    • 实数部分 $\gamma_1$ 描述横向/纵向的变形，虚数部分 $\gamma_2$ 描述 45° 方向的形变
    • shear 方向角 $2\varphi$ 表示 shear 是一个 spin-2 field
  • $\kappa,\ \gamma_1,\ \gamma_2$ 和 lens potential $\psi$ 之间的关系由 eq19 给出（均为 potential 二阶导数）
  • convergence 直接等于 actual/critical surface mass density 的比值
  • Jacobian 矩阵的行列式的倒数给出了 magnification $\mu$，一般可以近似为 $\mu=1+2\kappa$
    • 图像的放大主要来自 convergence，而 shear 的贡献位于二阶及以上
• (complex) ellipticity 的测量依赖于星系亮度的四极矩 $Q$ 的测量（eq28, eq29）
  • 对于圆形源，椭率和 shear 之间有简单的关系 $\epsilon=g=\gamma /(1-\kappa)$
    • 其中 $g$ 称作 reduced shear（图像的放大会导致 WL 扭曲效果更明显）
  • 对于非圆形源，观测到的椭率是内禀椭率和 reduced shear 的非线性叠加：$\epsilon=(\epsilon_\mathrm{int}+g) /(1+g^\star\epsilon_\mathrm{int})$
    • 在 $g$ 非常小的情况下可以简化为 $\epsilon=\epsilon_\mathrm{int}+g$，而前者在统计平均下为 0
    • 这里的 $g^\star\epsilon$ 指的是 complex conjugation
• 关于 surface brightness 的基本知识：对于同样的天体，flux 和 angular size 均随距离变化，最终导致 surface brightness 不存在对距离的依赖性
  • WL 中 surface brightness 也保持不变，因为整个过程中 flux 是守恒的
• shear 也可以在「以对应天体为中心的极坐标系」下分解为 tangential/cross shear
  • 也可以称作 E/B mode（fig5）
  • 前者包含了全部由标量引力势产生的信号
  • 后者的信号平均之后应该为 0，可以作为对系统误差的 null test
• 对于球对称的质量分布，tangential shear 等于某个角半径内部平均 convergence 和该处 convergence 的差值，进一步可以转化为 surface mass density 的差值（by a factor of $\Sigma_\mathrm{crit}$）
  • 也就是 tangential shear 的平均值直接对应于 surface mass excess $\Delta\Sigma$
• shear 和 convergence 是同一个 lens potential 的不同的二阶导数，其中 convergence 直接对应于 surface mass density，所以可以从 shear 测量中复原出 convergence map
  • 具体的方法是 Kaiser-Squires reconstruction，在球面的 spherical harmonic space（类似 Fourier？）中由 shear 的谐系数通过简单的代数运算得到 convergence 谐系数（eq46）
  • fig6 展示了 DES 重构出的 convergence map
• SNR 可以根据 $\epsilon=\epsilon_\mathrm{int}+\gamma$ 的近似计算
  • $\gamma$ 一般不超过 0.01，而 shape noise $\sigma_\epsilon$ 的典型值在 0.3 左右（差距大概 1.5 个量级）
  • 对 N 个星系取平均会使得 noise 以 $N^{-1 /2}$ 的形式减小
  • 一个可能的系统误差（intrinsic alignment）是邻近星系本身处于同一个 tidal field 中所以形状是相关的

Shear estimation and calibration #

• PSF 会使得椭率偏低，所以需要在椭率的测量中加入 PSF 卷积的影响，以实现对未经 PSF 影响的原始椭率的测量
  • 提取 PSF 的办法一般是使用恒星或者其他点源的成像建立随位置变化的 PSF model
• 此外还需要进一步的 calibration
  • 传统方法是生成已知 shear 的模拟图像，然后测量 multiplicative/additive bias 并且在真实数据中补偿回去
    • 前者指对信号的系统性放大/缩小，后者指非零的残余信号（一般和 PSF 有关）
  • 更加先进的办法是 meta-calibration：在未经 PSF 卷积的图像上人为地两次叠加正/负 shear，「两次测量的结果之差」和「叠加值的差值」的比例称作 response factor
    • 这个过程可以针对每一个星系进行
  • 其他 calibration 的考虑还包括 shear 改变亮度导致的 selection bias、图像 deblending 以及 meta-detection

WL cosmology #

• 宇宙学 context 下 thin lens 的假设不再成立，解决办法是将计算 deflection angle 几何因子移入积分的内部，此外将积分变量从红移替换为 comoving distance（eq55）
• 宇宙学中物质 overdensity（或者 density perturbation）和引力势之间可以通过 Poison equation 联系起来（eq58），所以可以建立 convergence map 和 over-density 之间的关联：convergence map 实际上是三维物质密度场沿着视线方向的投影，权重来自两方面（eq62）
  • 几何权重由 O/S/L 之间的相对距离决定，L 位于 S/O 之间时权重最大
  • source 分布 $n_\mathrm{s}(z)$ 表示 source galaxy 在不同红移上的分布情况
• 在宇宙学基本假设下，重要的不是特定方向上的物质分布而是物质分布的统计性质，其中最基础的是 two-point correlation，用角关联函数/角功率谱描述
  • 两点关联函数定义为球面上距离为 $\theta$ 的两个点上对应的物理量 $\alpha$ 和 $\beta$ 的乘积的期望值
    • 最简单的情况是物理量和自身之间的自关联函数，convergence 或者 shear 的自关联函数称作 cosmic shear
      • convergence/shear 功率谱是完全相同的（eq72）
    • 前景星系的 density 和背景星系的 shear 之间的关联函数称作 galaxy-galaxy lensing
  • 角关联函数通过 2D Fourier transformation 变为角功率函数
    • Limber 近似认为小角尺度上的关联由垂直视线方向的物质密度扰动贡献，而沿视线方向的 over-density 会被平均掉
      • 在这一近似下二维的角功率谱可以简化为沿视线方向距离的一维积分，被积函数是三维物质功率谱以及两个物理量对应的 window function 的乘积
      • 最终 convergence/shear 功率谱是物质功率谱沿着视线的加权投影（eq70）
  • lensing power spectra 的误差包括 cosmic variance 以及 shape noise 两个方面（eq73）
    • cosmic variance 指的是对于某个特定角尺度（尤其对于较大尺度）天空中互相独立的区域/模式是有限的
    • shape noise 在小尺度上占据主导，解决办法是通过增加观测深度来提升背景星系数量
  • 5.3 给出了角功率谱向实空间 tangential/cross shear 两点相关函数的转化的 Hankel 变换
  • fig8 给出了 DES 测量得到的 shear 关联函数以及 gg lensing、galaxy clustering 信号，最终将会作为宇宙学拟合的数据向量
    • 其中小尺度数据因为非线性效应以及重子物质效应等从最终拟合中剔除
• WL survey 包括 stage-III 的 DES、KiDS、HSC 以及 stage-IV 的 Euclid、LSST、Nancy Roman
  • DES 5000deg2，其余两个 1000deg2
  • Euclid/LSST 覆盖 14/18k deg2，source density 是 HSC 的 2 倍左右；Roman 3-4 倍但是天区较小
  • fig9 的 volume-density plane 非常有用
    • LSST 将会测量 10% 的 universe volume
  • photo-z 是 WL 中最复杂/最大的系统误差来源之一
• WL 中包含的宇宙学信息主要包括宇宙密度涨落的幅度 $\sigma_8$
  • 但是由于简并性一般使用 $S_8$
  • fig12 给出了 stage-III 的三个 survey 给出的宇宙学预测
• 对宇宙学参数的推断一般使用 Bayesian inference，后验等于似然函数和先验的乘积
  • 一般用 MCMC 在高维空间中采样
• 3x2pt 是最主流的 WL cosmology 方法
  • 单独的 cosmic shear 受到 $\sigma_8$ 和 $\Omega_\mathrm{m}$ 之间简并性的影响，而 3x2pt 可以消除这种依赖
  • 具体来说包括
    • cosmic shear 指的是（背景星系）shear 的自相关，对 $\sigma_8$ 和 $\Omega_\mathrm{m}$ 敏感
    • galaxy clustering 指的是（前景星系）位置自相关，更多地约束 $\Omega_\mathrm{m}$
    • galaxy-galaxy lensing 指前景星系位置和背景星系形状的 cross correlation，对应于前景星系周围的物质分布
  • 全部建立在前景星系的空间分布以及背景星系计算出的 shear field 基础上
    • 为了区分前景/背景星系一般做基于 photo-z 的红移分 bin
  • 优势除了打破参数简并之外还包括在同一个框架中自动校准类似 galaxy bias 或者 intrinsic alignment 等误差
    • galaxy clustering 受到 galaxy bias 的影响最为严重（$b^2$），gg lensing 稍轻（$b$）
      -galaxy bias 指星系是 matter 分布的有偏示踪物，一般来说 galaxy 相比 matter 有更强的聚集
    • 最简单的模型是 linear biasing model，也就是功率谱之间存在 $P_\mathrm{gg}=b^2P_{\delta \delta}$ 以及 $P_\mathrm{g\delta}=bP_{\delta \delta}$ 的关系
    • 对于小尺度这一模型不再成立，所以需要 scale cut
  • intrinsic alignment 会在 galaxy shape correlation 中加入污染项，可以通过在 MCMC 中对这种效应进行建模并且 marginalize 模型参数去除
  • 类似地也可以将 photo-z error 和 multiplicative error 纳入 MCMC 框架中
  • lensing 会起到微弱的放大 lens 本身的效果，也需要在统计框架中进行考虑
  • baryonic process 会影响物质的分布，尤其是在小尺度上
    • 具体来说
      • AGN 会将星系中心的重子物质吹出，压低小尺度上的功率谱
      • 气体冷却坍缩会增强物质的聚集，增强小尺度上的功率谱
    • 一般的做法是舍弃小尺度的功率谱，不用于宇宙学分析
      • 更精细的做法是建立 baryonification model 然后加入 MCMC 的框架中
  • 数据分析的结果存在于实空间中的 2PCF 中，为了对比一般会将理论模型从 harmonic space 变换到实空间（通过 Hankel 变换或者更精细的球面变换）
  • 5.7 给出了 gg lensing 以及 galaxy clustering 在实空间的对应测量量
  • 3x2pt 的结果和 CMB/Planck 结果之间的主要区别在于 S8 tension
• WL 和其他 field 分布之间的 correlation 也很重要，比如 CMB/Lyman-alpha forest

Thoughts #

• new branch https://aistudio.google.com/prompts/1No7HGhRmndiNoVTiJl_aXCS3jEgdBTQx
• theory 一章简单来说就是
  • 将 Newtonian potential 积分得到 lens potential
  • 求梯度和 Laplace 算子分别得到 deflection angle 以及 surface mass density
    • 后者等价于 convergence
  • 基本的逻辑链条是「质量分布 → 引力势 → 偏转角场 $\alpha(\theta)$ → 透镜方程 → 最终的图像 $\theta$」
    • 假设所有产生偏转的物质都集中在一个垂直视线的 2D plane 上，可以用 $\Sigma(\xi)$ 描述
    • Born 近似下总偏转角可以通过透镜平面上每一个面元产生的偏转角的叠加得到（eq6）
    • lens equation 将实际偏转和观测量联系起来
    • 2.2 大致内容是用 potential 表述代替了 surface density mass 的表述
  • lens equation 的作用是建立了从观测量 $\theta$ 推断实际位置 $\beta$ 的方法
    • $\alpha(\theta)$ 可以由 lens potential 得到
    • 在 $\alpha(\theta)$ 变化非常剧烈（对应 SL）时可能有多个 $\theta$ 对应一个 $\beta$，也就是多重像
      • 相反在 WL 中可以将偏折作用进行线性化，也就是用 Jacobian matrix 描述
• 用 excess surface density 进行的 stacking analysis 用于测量某种类型天体的平均 mass profile $\Delta \Sigma(R)$，而 reconstructed convergence map 用于绘制大范围的二维质量分布
  • 前者假设质量是中心对称分布的，而后者用于揭示更加复杂的质量分布
• 对于 Gaussian 随机场来说，所有的统计信息都位于均值和两点相关函数/功率谱中，比如 CMB 的温度的分布就非常类似 Gaussian field
  • 在 non-Gaussian field 中两点相关函数/功率谱只能描述场的二阶统计量，丢失了 skewness/kurtosis 的信息，需要用 3PCF/4PCF 以及对应的功率谱（描述三个、四个 Fourier 模式之间的关联）描述
  • 对于 Gaussian 分布来说
    • 任何 N 个点的联合概率分布都是 Gaussian 的
    • 2PCF 类似于将所有 point pair 之间的协方差系数表示为距离的函数
• photometric survey 大致的格局就是 3+3
• 小尺度上重子物质占主导对于 WL 分析来说不确定性更高
• gg lensing 在 galaxy-halo connection 方面的应用包括
  • 测量一类天体周围的平均 matter profile
  • 测量足够大的 cluster 周围的质量分布
• BAO 对应于 galaxy clustering 的一个 peak？
• https://aistudio.google.com/prompts/1J6gFfHcUoBlQs9uUlKYug33DCZ_hKKha
  • cosmic shear 的测量是沿着连线进行的，也就是对每一个 pair 按照连线方向测量 tangential/cross shear，之后对平均值进行线性组合得到 $\xi_+(\theta)$ 和 $\xi_-(\theta)$，后者在正常情况下为 0
  • $\xi_+(\theta)$ 定义为 tt+xx，$\xi_-(\theta)$ 定义为 tt-xx
• remaining
  • cosmic shear and galaxy-galaxy lensing
  • non-Gaussian in shear field

Supplement - Gaussian field #

• https://aistudio.google.com/prompts/1ssJ4Of-BHNlOZFq_xGUNquRsz7_fg9TS
• 定义为「空间中的任意点组成的概率分布服从多元高斯分布」
• 统计信息完全包含于均值和协方差矩阵中，但是一般设定均值为 0
• 所有奇数阶的相关函数为 0，偶数阶的相关函数可以分解为两点相关函数的乘积之和
• CMB 除了具有 Gaussian field 的特点之外还是均匀和各向同性的，所以 2PCF 才可以表示为距离依赖的函数的形式
• 晚期宇宙的观测必然是非高斯的，所以 2PCF 不能包括全部信息
  • overdensity 具有下限（-1）而上限极高
  • 3PCF 和 bispectrum 包含了非常重要的信息，比如 cosmic filament
  • 而且 2PCF 由于 RSD 的影响不能仅仅依赖于单一的距离，变为依赖于平行/垂直视线方向上两个距离的二元函数