Costanzi2019ModellingProjectionEffects
Brief
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- 通过 injection 的方式可以测量来自 bkg 的 Gaussian 形式的 richness 贡献，通过 redshift offset 可以测量红移相隔一定距离下的 cluster 对彼此的贡献（结果是一个 projection kernel 的形式），这两步是后续的基础
- 最终对 richness 的建模来自 simulation 中的 injection，因为包括了来自观测的以上两个 calibration 结果所以不需要模拟星系颜色，而只需要在 true richness 上叠加 projection/bkg term 得到 observed richness
- 最终的 observed richness 还包括一项 percolation term
- 相比针对 simulation 进行 galaxy painting 然后运行 redMaPPer 是更好的做法
- 一个有用的结论是 observed richness 的左/右 tail 可能分别来自于 percolation/projection
Intro
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- 主要的关注点是 redMaPPer 所受的 projection effect
- 同时造成 richness 高估和 MOR scatter 增大两种效应
- 研究 projection 的困难在于：仅凭观测+injection 无法体现 LSS 作用，仅凭 simulation 会存在由 galaxy painting 不确定性的影响
Model
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- 核心是将给定 halo mass 和红移下预测 richness 的概率分解为两步：M/z -> true richness -> observed richness
- 第一步代表 MOR 中的 intrinsic scatter，第二步代表 richness 测量过程受到 projection effect（以及 photo-z error 和 bkg sub 等因素）影响产生的 perturbation
- 假设 observed/true richness 之间的差距包括 bkg 和 projection 两部分
- bkg term 来自 photo-z error 以及 bkg subtraction，可以通过向真实数据注入已知 richness 的 cluster 来进行 calibration（sec3.1）
- projection term 来自大尺度结构的贡献（无法通过 injection 模拟），解决办法是借助 N-body simulation 并且用 projection kernel 描述不同红移处的其他 cluster 对目标 cluster 的贡献
- N-body simulation 的主要难点是填充颜色很难复现 red sequence 的观测特征（比如 width 随着红移的演化），所以先建立 mock catalog 再运行 redMaPPer 的方法可靠性不高
- 对 mis-centering 的处理/建模在 Zhang2019DarkEnergySurveya 中介绍，这里假设二者是独立的
Analysis
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- 根据 redMaPPer 提供的 color-redshift model 生成 richness/redshift 已知的 cluster，并且将其散布到 SDSS DR8 的堆积位置上进行 richness 重新测量
- 随机位置保证了结果不受到 LSS 的影响，而是纯粹由偶然的 LOS 重叠导致
- fig1 展示了 9 个 injected cluster 的（概率性值的）richness 测量结果
- 具有 non-Gaussian feature：右侧 tail 更长，对应于 projection effect
- 高红移、高 richness 的系统有更强的 projection
- observed/true richness 之间的差别可以通过一个 Gaussian bkg 组分和一个 delta+exponential 的 projection 组分（eq5）建模，包括四个自由参数（均随红移和 richness 变化）
- 两个组分通过卷积得到 observed richness 的概率分布（eq6）
- fig2 展示了拟合结果中四个参数随着红移和 richness 的分布
- Gaussian 分布的均值始终为负，也就是 redMaPPer 会低估 richness
- Gaussian scatter 以及 projection fraction 随着红移升高而增加
- redMaPPer 的 richness error 相对真实值有一定的低估，因为没有考虑 membership probability 计算的不确定性
- simulation data 上的实验可以考虑到 LSS 相关的 projection effect
- 具体步骤是
- 根据 halo mass 赋予不同的 richness 并且从高到低排序
- 按照顺序计算 richness（计算为 LOS 方向全部 cluster 按照 projection kernel 的叠加）
- 根据 richness 进行 percolation，也就是 projection 仅计算一次，仅存在 poor cluster 对于 rich cluster 的贡献
- 最后叠加来自 sec3.1 的 bkg component（一个额外的 Gaussian 噪声并且均值为负）以模拟观测误差
- projection kernel 完全来自 redMaPPer cluster 自身数据：针对每一个 redMaPPer cluster 在一个偏离一定距离的红移上测量 richness（fig3）
- 面积重叠因子可以很简单地计算
- 发现 projection kernel 可以很好地用一个二次函数描述：$w(\Delta z)=1-(\Delta z/\sigma_z)^2$
- 不同 cluster 对应不同的 $\sigma_z$（因为 LOS 方向存在的污染不同）
- 采用 5% 分位数线作为 $\sigma_z$ 的描述，对应于「没有额外结构污染情况下的 projection effect 强度」
- 实际采用两段类似幂律的关系进行拟合，分界点是 0.32
- 将 injection 方法和红移 offset 方法进行对比以进行 validity 验证
- 用 N-body simulation 构建一个 180x180 deg2、红移 0.1-0.9 的 light cone
- 使用了 GADGET code，并且用 rockstar 寻找 halo
- 采用假设的 MOR 均值和 scatter 赋予 richness（参数来自 Simet 2017）
- 采用 injection 方式加入已知 richness/redshift 的 cluster，然后用 sec3.2 得到的 kernel function 计算 richness，最后加入 Gaussian 形式的 bkg 噪声
- data 和 mock 结果非常一致（fig4），并且改变 MOR 关系、宇宙学参数、kernel function 的百分位数都不会影响一致性（fig5/6）
- 最后结合 injection 方式和 simulation data 包括了完整的 LSS 影响以及 percolation 过程
- 最终的 observed richness 来自于 bkg term (Gaussian)、projection term 以及 percolation term
- projection term 需要重新 calibrate，因为引入了 LSS 相关的新的 source
- percolation term 建模为一个未受影响的组分和受到影响、richness 损失在 0-lambda 之间均匀分布的组分
- 卷积之后得到最终的 observed richness equation (eq15)
- fig7 展示了更新之前（黑线）和之后（红线）的模型相对于 mock 的符合程度
- 考虑 LSS 之后，projection effect 幅度明显增大，尤其对于 rich cluster
- low-richness 一侧出现的 tail 来自 percolation term，因为 poor richness
Impact on cosmological inference
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- 根据 observed richness model 生成包括 number counts 以及 WL calibration 在内的 data vector，同时对宇宙学参数以及 MOR 进行 MCMC 拟合
- 开启/关闭 LSS、percolation 等组分以探究「不完美的模型会对宇宙学推断带来什么影响」
- fig9 展示了三种简化/不完美情况下相对于 baseline 的偏差
- baseline 的良好效果是预期之内的，因为 data vector 就是在这个 model 下构建的
- 忽略 LSS/percolation 会导致大约 1sigma 的偏差
- 直接采用 Gaussian model 会导致较大的偏差（case 4），具体表现为 Om 偏低、ss8 偏高以及偏离严重的 MOR 参数（严重高估 scatter parameter）
Thoughts
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- fig3 中的 kernel size 增长速度似乎在 0.30 前后有很大跳变，也许由 filter pair switching 导致？
- sec3 的逻辑有点复杂……
- 统一采用概率形式描述 richness 的测量/生成
- percolation 也许有更合适的做法：星系不一定以更大的概率属于 rich cluster，其实可以通过 Bayesian 全概率方式判断每个星系属于各个 cluster 的概率
- 其实 percolation 就是不合理的，和 Bayesian 体系并不相容