Costanzi2026ForwardAnalyticalModel

July 7, 2026

Brief #

projection effect 的影响是使得观测 richness 高于真实，并且选择出 projection effect 更强的 cluster，这些 cluster 也具有更高的 WL signal

理论推导建立在 C19 的基础上（Costanzi2019ModellingProjectionEffects）
一个 cluster/BCG 周围的物质分布可以用 bias 描述
- general trend 是质量越高的 halo 的 bias 越高，在此基础上通过 optical cluster finder 挑选出的 cluster 更可能是同样质量下 bias 更高的（比如视线方向具有其他结构）
projection 贡献的 richness 可以计算为周围的 cluster/group 的密度 $n_\mathrm{prj}$ 和单个 neighbor 的贡献 $\rho_\mathrm{prj}$ 的乘积（eq3）
- 前者主要取决于 optical cluster bias
- 后者取决于红移权重 $w_z$ 以及几何重叠因子 $f_A$
  - 红移差别更大、面积重叠更小的 cluster pair 更不容易相互污染
bias 随着半径增大会逐渐从「由 projection effect 强度决定」过渡到「由 cluster/halo mass 决定」（eq6）
- bias 的变化可以用 sigmoid 描述，过渡点和坡度都和 cluster (angular) radius 有关
- 问题转化为了确定半径无穷小/无穷大处的两个极限值
  - 假设（经过 mock data 的验证）大尺度的 over-bias 和 over-projection 成正比（eq7）
  - 小尺度的 over-bias 可以反向解出来（eq8）
bias 随着半径变化的模型可以用于计算 WL profile 中的 2halo term
- fig3 代表了一个典型的 WL profile 的组成

模拟类似 DES Y3 的观测条件进行 instantiation（相当于为 sec2 中的 model 选择合适的参数）
- 使用 Tinker 2008 halo mass function 以及 Tinker 2010 bias
- DM halo density profile 使用 NFW
- 从 halo mass 到 richness 的转换采用 HOD 框架（eq15）
- 允许 richness 服从 super-Poisson 分布（而非默认的 Poisson 分布）
mock catalog 基于 DeRose 2019 N-body simulation 构建，并且用 rock star 搜索 halo
- 针对每一个 halo 用 HOD 赋予一个真实的 richness，并且加入投影效应的贡献得到观测 richness
- fig4 对比了真实 richness 和 observed richness 的区别
- 最后在 cylinder 中统计 2D density profile 模拟 WL 观测

fig5 显示模型能够很好地预测 projected richness 的贡献
- middle panel 说明根据 richness 选择出的 halo 倾向于具有更高的 WL signal
- 下图说明 selection/projection bias 的影响大约在 1Mpc/h 达到 peak
fig6 将 fig5 上图扩展到不同红移和 richness 区间
- 高 richness 受到的 projection 影响更大，但是不存在显著的红移演化
fig7 对应每一个 bin 内的 projection effect 影响严重程度